求和S=1+2Ⅹ+3Ⅹ^2+4Ⅹ^3+5Ⅹ^4+···+nⅩ^(n-1)

总结一下：
方法一：
求导1+2X+3X^2+4X^3+…nX^(n-1)
=(x+x^2+…+x^n)`
=(x(1-x^n)/(1-x))`
=[nx^(n+1)-(n+1)x^n+1]/(x-1)^2
方法二：
错位相减
令F=1+2X+3X^2+4X^3+…nX^(n-1)x
F=x+2X^2+3X^3+4X^4+…nX^n（x-1）
F=nX^n-[1+X+X^2+X^3+…X^(n-1)]
因为1+X+X^2+X^3+…X^(n-1)
=(1-x^n)/(1-x)（x-1）
F=nX^n-(1-x^n)/(1-x)
F=[nx^(n+1)-(n+1)x^n+1]/(x-1)^2
另附：当x=1时，原式=n(n+1)/2
懂了吗？

1+2X+3X^2+4X^3+…nX^(n-1)
=(x+x^2+…+x^n)`
=(x(1-x^n)/(1-x))`
=[nx^(n+1)-(n+1)x^n+1]/(x-1)^2
方法二：
错位相减
令F=1+2X+3X^2+4X^3+…nX^(n-1)x
F=x+2X^2+3X^3+4X^4+…nX^n（x-1）
F=nX^n-[1+X+X^2+X^3+…X^(n-1)]
因为1+X+X^2+X^3+…X^(n-1)
=(1-x^n)/(1-x)（x-1）
F=nX^n-(1-x^n)/(1-x)
F=[nx^(n+1)-(n+1)x^n+1]/(x-1)^2
另附：当x=1时，原式=n(n+1)/2

S=1+2Ⅹ+3Ⅹ^2+4Ⅹ^3+5Ⅹ^4+···+nⅩ^(n-1) 1
两边乘以X
XS= X+2X^2+3X^3+4X^4+...........+(n-1)X^(n-1)+nX^n 2
采用错位相减法
1-2
(1-X)S=1+X+X^2+X^3+X^4+..........+X^(n-1)-nX^n
设Z＝X+X^2+X^3+......